[2322] ISO Paper Size Golden Spiral

Title Text:The ISO 216 standard ratio is cos(45掳), but American letter paper is 8.5×11 because it uses radians, and 11/8.5 = pi/4.

Origin:https://xkcd.com/2322/

https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/2322:_ISO_Paper_Size_Golden_Spiral

国际标准纸张尺寸的黄金螺旋线

ISO 216国际标准纸张的比例是cos(45°),但美国信纸大小是8.5×11。因为它使用弧度制,而11/8.5 = π/4。

脚注:
国际标准化组织的ISO 216定义了今日世界上大多数国家所使用纸张尺寸的国际标准。

http://xkcd.in/comic?lg=cn&id=2322

这个漫画是关于如何惹恼图形设计师和数学家的,就像590:Papyrus1015:Kerning一样

惹恼许多数学家的一种简单方法是对黄金比例提出幻想。人们声称,它在各种自然和人为情况下都可以检测到各种程度的可信度,而人们常常怀疑这一主观主张,即以某种特定方式使用该比率会使图像更“美丽”。该金螺旋是螺旋其生长因子是该比率; 一种常见的(尽管在几何上略有不精确)说明螺旋的方法是通过一组正方形绘制曲线,这些正方形的边长根据黄金比例缩小。结果看起来很像Randall的画。

但是,兰德尔根本没有使用黄金分割率。他只是通过显示A系列标准纸张尺寸的普通图表绘制了一个螺旋(不是金色螺旋),而是横向而不是纵向(此图表通常以纵向绘制)。这些纸张根本不是正方形,而是矩形,其边长缩小了2的平方根。此外,纸张尺寸也缩小了一半,因此该区域以几何级数填充。尽管银比率实际上是1 +√2 ,但有时也称为矩形。将A系列误认为与黄金分割有关,并且 兰德尔(Randall)延续了对黄金分割率(Golden Ratio)提出可疑主张的传统,成功地使平面设计师和数学家大为恼火。

标题文字是一个类似的主题笑话,部分是基于以下事实:美国使用惯用单位,而世界上绝大多数地区使用国际单位。11 / 8.5比率是US Letter纸的长/宽比率,它是11英寸x 8.5英寸(在美国,另一个常见的尺寸是US Legal,它是14英寸x 8.5英寸)。π/ 4弧度的值确实等于45度,尽管Randall在一种情况下采用余弦值,而在另一种情况下使用原始角度,以便获得值的近似重合。A系列纸的宽度和长度(ISO 216)总是以毫米为单位,宽度/长度比非常接近cos(45°)(1 /√2= 0.707…)。对于美国信纸,11 / 8.5实际上并不接近π / 4,但Randall可能打算写8.5 / 11而不是11 / 8.5(漫画现在在xkcd.com上显示8.5 / 11 -看起来他已纠正了错误)。小数点后4位为8.5 / 11 = 0.7727和π/ 4 = 0.7854。

实际上,弧度与度的关系不是地理或政治决定,而是通常由专业划分。大多数工程和科学领域都以度或度的分数(在天文学等领域中,以秒为单位,甚至是毫秒)来测量角度,而数学家和物理学家通常使用弧度。土木工程师可以按坡度来指代道路的坡度,通常用与水平线的切线(百分比或比率)表示。对于最大约10°的角度,该值接近以弧度为单位的角度值。

“真实的”金色螺旋正方形与Randall版本之间的差异大约为.2038(对于√2-1.6180…)或.08907((1 /√2)-1.6180…),具体取决于您计算的方式。无论哪种方式,差异都非常明显。)

所显示的螺旋线近似为对数螺旋线,具有√2的增长因子,但对其进行了稍微编辑以使其整齐地适合矩形内部。如果螺旋的中心在原点,则对于任何正常数C,都可以用r = C * 2 ^(θ/π)来绘制。

1488:流程图金色螺旋已在在图表被铺设。该漫画是指向xkcd 螺旋页面的链接。

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