[2059] Modified Bayes’ Theorem

Title Text:Don’t forget to add another term for “probability that the Modified Bayes’ Theorem is correct.”

Origin:https://xkcd.com/2059/

https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/2059:_Modified_Bayes%27_Theorem

贝叶斯定理是统计学中的一个等式,它给出了给定假设的概率,不仅可以用于单个实验或观察,还可以用于您对该假设的现有知识,即其先验概率。兰德尔对等式的修正形式也意味着通过将其作为等式中的一个术语来解释你确实正确应用贝叶斯定理本身的概率。

贝叶斯定理是:

P(H | X)是假设H在给定观察X时为真的概率。这称为后验概率。

P(X | H)是观察X在假设H的真实性下出现的概率。该术语通常称为似然。

P(H)是在任何观察之前假设H为真的概率。这被称为先验或信仰。

P(X)是观察X的概率,不管任何假设可能产生它。这个术语称为边际可能性。

贝叶斯推理的目的是通过用我们能够发现的事物进行数学表达来发现我们想要知道的事物(我们的解释在我们已经看到的证据中是多么可能是正确的):我们的观察有多大可能,我们的假设是先验的可能性有多大,以及假设我们的假设是正确的,我们有多大可能看到我们所看到的观察结果。贝叶斯学习系统将迭代可用的观测值,每次使用新观测的可能性来更新其先验(信念),希望在看到足够的数据点之后,先验和后验将收敛到单个模型。

概率总是具有0到1之间的值,后者值表示100%概率。两个极端都是:

如果P(C)= 1,则修正定理将恢复为原始贝叶斯定理(这是有道理的,因为概率可以确定您正确使用贝叶斯定理)。

如果P(C)= 0,则修正定理变为P(H | X)= P(H),这表示您的假设的信念不受观察结果的影响。

它是计算前的信念的线性插值加权平均值和正确应用该定理后的信念。这完全顺利,因为根本不相信计算,完全相信它。

贝叶斯统计数据通常与“频率主义”统计数据形成对比。对于频率论者,概率定义为大量试验后相对频率的极限。因此,对于频率论者来说,“正确使用贝叶斯统计量的概率”这一概念毫无意义:即使在原则上也不能进行重复试验。贝叶斯认为概率是个人信念的量化,因此诸如“正确使用贝叶斯统计的概率”这样的概念是有意义的。然而,由于不能独立地确定这种主观先验概率的值,所以不能客观地找到P(H | X)的值。

标题文本表明,对于修正贝叶斯定理的正确概率,应该增加一个附加项。但这就是这个等式,所以除非我们将结果称为修正的修正贝叶斯定理,否则它将使公式自引用。它还可能导致无限回归 – 需要另一个术语表示添加概率的版本是正确的概率,另一个术语是该版本的另一个术语,依此类推。如果修改有限制,则修改ωBayes定理将是结果,但是然后需要另一个关于它是否正确的术语,导致修正的ω+ 1贝叶斯定理,等等通过每个序数。

当测量不符合原始理论时,经常在科学中提出修正的理论。一个例子是修正牛顿动力学理论,其中许多物理学家试图解释暗物质并没有太大的成功。

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