[2566] Decorative Constants

Title Text:Arguably, the ‘1/2’ in the drag equation is purely decorative, since drag coefficients are already unitless and could just as easily be half as big. Some derivations give more justification for the extra 1/2 than others, but one textbook just calls it ‘a traditional tribute to Euler and Bernoulli.’

Origin:https://xkcd.com/2566/

https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/2566:_Decorative_Constants

装饰性的常数项

可以说,阻力方程里的“1/2”项是纯装饰性的,因为阻力系数已经是无单位的了,设它为一半大小也很容易。虽然有些推导方式使得多出来的“1/2”项更好解释,但是有一本教科书直接把这一项称作“向欧拉和伯努利致敬的传统”。

http://xkcd.in/comic?lg=cn&id=2566

这是Randall 的另一个 技巧,这次是数学技巧。

Randall 给出了一个标记为 4-15 的复杂方程的示例:

T = 𝔻m 0 (r out – r in ) μ̅

但由于 𝔻 和 μ̅ 是“装饰性的”,所以方程可以简化为

T = m 0 (r out – r in )

这里 T 是净流量,m 0是单位质量,(r out – r in ) 是流量平衡。

装饰符号可以解释为常数𝔻 = μ̅ = 1,在这种情况下,隐含的乘法和幂运算是有意义的。𝔻 是双打的(“黑板粗体”,因此在漫画中只有垂直线是双打的)。一直在寻找更多符号[需要引用]的数学家已经开始通过使用不同的字体来区分由同一字母表示的事物,例如𝑑、𝐝、𝒅、𝐷、𝐃、𝑫、𝒹、𝒟、𝖉、𝕯 、∂、𝕕和𝔻。与适当的粗体字母相比,双划线字体更容易在黑板上书写,并且通常表示一个集合,例如 ℝ 表示实数集或 ℂ 表示复数集。𝔻 可以表示复平面中的单位圆盘、十进制分数集或分裂复数集。

μ 是希腊小写的 mu,在数学和科学中有很多用途。这里它有一个条形图,μ̅,它可以表示很多东西,包括复共轭。有趣的是,μ 是统计中总体均值的符号,上条表示样本均值,因此这可以表示一个随机变量,它是一些较大总体集合中不同总体 的均值 μ i样本的平均值。

使用 D 和 μ 的特殊版本来进一步丰富公式,所有这些都会导致数学提示:

如果您的某个方程式看起来太简单,请尝试添加一些纯粹的装饰常数。

其他一些深奥但看起来很简单的众所周知的方程的例子包括

E = mc 2 (狭义相对论),
PV = nRT理想气体定律),
F = ma牛顿第二定律),
V = IR欧姆定律),并且
μν + Λ μν = κT μν爱因斯坦场方程),以及
πi +1 = 0欧拉恒等式)。

其中,只有爱因斯坦场方程被修饰了索引(实际上隐藏了一个由十个非线性偏微分方程组成的系统)。

在标题文本中,兰德尔提到了阻力方程,这归因于瑞利勋爵。在流体动力学中,阻力方程是一个公式,用于计算物体由于在完全封闭的流体中运动而受到的阻力。方程为d  = ½ ρu A。这里d是阻力,ρ 是流体的质量密度,u 是相对流速,d阻力系数,A 是面积。

Randall 开玩笑说,方程中的 ½ 因子毫无意义,纯粹是装饰性的,因为阻力系数d已经是无单位的,并且可以很容易地变成一半大,因此省略了方程前面的 ½。因此,1/2 只是“装饰常数”的一个例子。包含 1/2 因子的通常原因是它是动能公式的一部分,出现在阻力方程的推导中,即 1/2 ρu 2。然而,现代治疗方法如此浓缩,以至于这个 1/2 的因子经常被偷偷带进来,没有任何解释。

由于我们可以选择任何我们想要的常数,因此可以将 ½ 吸收到阻力系数d中,但这并不意味着它没有动力,因为它来自动能。尽管如此,兰德尔还是引用了弗兰克怀特的流体力学教科书,该教科书两次称其为“对欧拉和伯努利的传统致敬”。根据怀特的说法,1/2 的因子来自于被拖动物体的投影面积的计算。兰德尔之前在他的著作《如何做》 中提出了这一点

怀特的这句话可能指的是著名的数学家莱昂哈德欧拉丹尼尔伯努利。欧拉被认为是历史上最伟大的数学家之一,他直接与丹尼尔合作,并且是伯努利家族的朋友,伯努利家族培养了八位具有数学天赋的学者。

Daniel Bernoulli 因将vis viva(我们现在称为动能)的定义从mv 2修改为 ½ mv 2而闻名,这是由脉冲方程推导而来的。1741 年,他写道

[定义vis viva ] esse ½ mvv = ∫ pdx

也就是说,“将vis viva定义为 ½ mv 2 = ∫ p d x ”,其中p是力(来自pressione),d x是位置的微分(无穷小位移)。今天,这个等式表明赋予静止物体的动能等于对其所做的功。

在阻力方程中,½ ρu 2表示由流体动能引起的动态压力,因此在方程中保留 1/2 是有意义的,因此可以很容易地认为它不代表装饰常数。

标题文本几乎是 Randall 的书How To的逐字重复。在第 11 章:如何踢足球中,他误用了阻力方程,并在脚注中更深入地提到了这一事实。

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