[2117] Differentiation and Integration

Title Text:”Symbolic integration” is when you theatrically go through the motions of finding integrals, but the actual result you get doesn’t matter because it’s purely symbolic.

Origin:https://xkcd.com/2117/

https://www.explainxkcd.com/wiki/index.php/2117:_Differentiation_and_Integration

这部漫画说明了“差异化是机制,融合是艺术”的古老谚语。它通过提供一个声称显示差异化过程的流程图和另一个用于集成的流程图来实现。

差异化和整合是微积分的两个主要组成部分。正如许多微积分2学生痛苦地意识到的那样,整合比它解除的差异要复杂得多。

然而,兰德尔在这里大大夸大了这一点。在集成的第一步之后,Randall认为任何集成都不能如此简单地解决,然后潜入一个名为“????”的步骤,这表明如何继续进行是不可知的。流程图的其余部分(我们可以故意假设)更难以遵循,并且没有得出结论。这与用于区分的简单,直接的流程图形成对比。整合部分底部的箭头无处可见这一事实表明“电话呼叫数学家”,“哦不”和“烧证据”并不是艰难旅程中的最后一步。这个流程图可以由Randall扩展到God-know-where范围。

值得注意的是,兰德尔通过提供四种不同的方法略微破坏了他的观点,并且“等”和“否” – 分支用于尝试区分,没有在它们之间进行选择的指导。

分化[编辑]

连锁规则

对于任何和,它遵循。

权力规则

对于任何,它遵循。

商数规则

对于任何和,它遵循,如果。

产品规则

对于任何和,它遵循。

集成[编辑]

按部件集成

“产品规则”倒退。因此,通过整合双方来得到,这通常被写为。通过找到适当的函数值,使问题出现在表单中,可以简化问题。问题是,没有用于确定它们可能是什么功能的算法,因此这种方法很快就会变成一个猜谜游戏 – 这是早期漫画的主题,1201:按部件集成。

代换

“连锁规则”倒退。从那以后,就是这样。通过找到适当的函数值,使您的问题处于形式,您的问题可能会被简化。

柯西的公式

Cauchy的积分公式是复杂分析的结果,它将复平面中的轮廓积分值与轮廓内部的奇点性质联系起来。它经常被用来通过从轮廓的部分从实线延伸的一体的路径进入复平面应用公式,则证明该积分来计算在实线积分未在实线具有零值。

部分分数

部分分数是用于将包括一个多项式除以另一个多项式的函数分解为包括原始分母因子的常数的函数之和的函数,其可以容易地集成到对数中。

安装Mathematica

Mathematica是一个跨越大多数领域的现代技术计算系统。其特征之一是计算数学函数。流程图中的这一步是安装和使用Mathematica为您进行集成。以下是关于集成的复杂性以及Mathematica如何处理这些内容的描述。 (尝试使用Wolfram Alpha而不是安装Mathematica会更快,Mathematica使用相同的后端进行数学计算。)

黎曼整合

黎曼积分是定积分的定义。关于微积分的基础教科书有时会发现一个明确的积分,作为通过相等宽度的条带逼近区域的过程,然后随着条带变窄而采取限制。 Riemann集成消除了条带宽度相等的要求,因此定义更灵活。然而,黎曼积分仍然没有收敛的许多函数,并且考虑这些函数导致勒贝格积分。黎曼积分不是适合于找到基本函数的反导数的微积分方法。

斯托克斯定理

斯托克斯定理是关于微分形式在流形上的积分的陈述。它是在科学和工程过程控制体积分析调用(即,跟踪控制体积内的量的变化率,它足以追踪通量进出控制体积边界的),但很少直接使用(即使直接使用它,科学和工程中最常用的功能也很好,如正弦曲线和多项式)。

Risch算法Risch算法是一个众所周知的复杂过程,给定某类符号被积函数,要么找到符号积分,要么证明不存在基本积分。 (从技术上讲,它只是一种半算法,除非能确定某个符号表达式是否等于0,否则无法产生答案。)许多计算机代数系统选择只实现更简单的Risch-Norman算法,没有相同的保证。 Risch算法的一系列扩展扩展了允许函数类,以包括(至少)误差函数和对数积分。一个人必须非常绝望地手工尝试这个(大概)。

贝塞尔函数

贝塞尔函数是微分方程的解,其中n是贝塞尔函数的阶数。虽然它们确实出现在某些工程,物理和抽象数学中,但在较低级别的微积分中,它们通常表明在将某些人置于符号代数求解器之前,并未正确设置积分。

打电话给数学家

这一步骤将表明流程图用户急于尝试解决问题,通过电话联系一些技能较高的数学家,并且可能会要求他们寻求帮助。 “哦不”和“刻录证据”的连接步骤可能表明这种交互可能不会很好地发挥作用,甚至可能使来电者遇到麻烦。

陌生人经常在非常不方便的时间或地点被专家和着名专家所困扰 – 而不是他们的娱乐 – 是一种常见的喜剧比喻,以前也被xkcd使用(例如在163:Donald Knuth)。

烧掉证据

这句话模仿了侦探小说中的一个普通比喻,其中人物刻录笔记,收据,护照等以保持秘密。这可能是指燃烧一个人的工作,以避免与如此严重失败的尝试解决给定的集成问题相关联的耻辱。或者,这可能是一个具有讽刺意味的暗示:为了找到积分,甚至可能有必要违反法律或扰乱更高的权力,以便只能通过破坏证据来避免迫害的负面后果。

符号整合

符号代数是寻找反衍生函数(用符号定义)的基本过程,而不是数字积分函数。标题文本是一个双关语,它定义术语不是作为符号的集成,而是作为符号行为的集成,就好像它是一个仪式的组成部分。仪式中的象征性行为是一种旨在唤起其他东西的行为,例如燃烧一个人的木制小雕像来代表那个人的仇恨。或者,参考可以被视为一个笑话,即整合也可能是一个符号,就像在小说中一样,因为兰德尔无法从他的分析中获得任何有意义的结果。

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