提问：

假设我用一个普通的喷墨打印机以12号字体打印数字1会用掉多少墨水分子？如果我想让打印出来的数字的数值大小和所用掉的墨水分子数相近，那么这个数字会有多大呢？

—— David Pelkey

回答：

回答这个问题我们需要请出费米估算法。这样我们关注的不是准确的数字，而是在开始仔细研究这个问之前就了解这个数大致会有多大，是10位数，还是100位数，还是无穷大？

于是我们可以看看在开始查资料前可以用费米估算法得出什么来。

一个喷墨打印机的墨盒够黑白打印许多张A4纸，我们不如乐观地估计可以打印几百张。又假设平均每张纸上有500个单词，每个单词含有5个字母，这样一张纸上差不多有2500个字母。100张纸就是25万个字母，400张就是100万个，因而每个墨盒够打印的字母数量应该是个六位数。

那么每个墨盒里有多少个墨水分子呢？这个问题不查资料的话很难回答，但我还是打算试着猜一下。

我记得在化学课上听到过一个叫阿伏伽德罗常数的东西，但我貌似不记得准确值了。我只记得它等于一个数乘以10的23次方，也就是一个24位数。我还记得它等于多少克什么物质的原子总数，应该不会很大吧。[1]

（— 有只老鹰把鸽子吃了！

— 吃了一整个学期？

— 我们学校周围有许多鸽子嘛~）

喷墨打印机的墨盒里的墨水量一般只有几十克[2]，我们不妨假设这也是同样的一个小数字，因为费米估算法就是这样的。

墨水的成分是什么我不知道。（记住，到目前为止我们还不能查资料。）但我知道乌贼能喷出像墨水一样的东西，所以我想墨水里应该有一些复杂的有机分子吧。这不是什么好消息，因为这下我连估计分子重量所在的大致数量级都做不到了。

不过别灰心，因为我们需要关心的是其中最小的分子，因为它们占总数中的大头。

墨水应该像许多乌贼一样含有很多水分。我打赌当墨水变干的过程中其中绝大部分的水分子都会跑出来，因为这就是“变干”这个词的本意嘛。

（“我们去把别的东西弄湿吧，这样人们就不会讨论它了，因为大家都不喜欢这个词！哦耶！太棒了！”）

现在故事有点编不下去了，所以我们不妨大胆猜想墨水分子中有10%是那些占据绝大部分数量的小分子，应该和阿伏伽德罗常数定义中提到的那啥碳XX原子数量大小相当。阿伏伽德罗常数有24位，那么它的10%就是23位数。如果我们之前做的假设没有错得太离谱的话，那么一个墨盒中的墨水分子应该也有约23位数那么多。

如果一个墨盒中有23位数那么多的墨水分子，一个墨盒又能打印6位数那么多的字母，那么每打印一个字母（或数字）所需的墨水分子数应该是个23-6=17位数。[3]

这意味着打印一个十位数需要18位数那么多的墨水分子，一个100位数需要19位数那么多的墨水分子。啊哈！找到交点了！要使打印出的数字的大小和所消耗的墨水分子数相当，那么这个数的位数一定在18位与19位之间。

所以我们根据费米估算法得出的答案是一个很靠近19位数的18位数。或许和真实值会相差几个数量级，但不管怎么样这个数可以打印在一行里。

（加减半个数量级真是一个奇怪的说法）

现在我们该查查资料看看我们的估算到底准不准了。

墨水的成分十分复杂，而且种类不同成分相差也很大，这个一点不出乎我们的意料。彩色墨水中有许多大分子，尤其是某些色素分子。不过还好David所问的便宜的黑白墨水的成分就要简单很多。

我打算用我家随便一台惠普打印机的黑白墨水来研究一下。惠普没有披露任何关于墨水成分的信息，但它有发布一份墨水的材料安全性数据表。

从这份表格中的信息我们可以知道墨水中含水量超过70%，它还含有2-吡络烷酮（用于合成抗癫痫药乙琥胺）以及1,5-戊二醇。

墨水中还含有最多5%的变性炭黑，这是一种像石墨和钻石那样的微晶碳。这对我们是个好消息，因为微晶碳的成分十分单一，它的分子式就是“碳（C）”。[4]

正好阿伏伽德罗常数的定义用的也是碳原子，好巧。一般的消费级墨盒里的墨量大概是几克，比阿伏伽德罗常数中用到的12克碳要少一些，这意味着我们的估算值大了半个数量级。我们很幸运在估算的过程中用到了碳，不过惠普墨水中的炭黑含量不超过5%，不是我们猜的10%，这样我们的估算值还要再往下降一些。不过总体来说还是猜得八九不离十。干得好！

对了，这也反衬出了数字世界是多么的简洁：

（用的是基本标准的恐龙漫画字体）
这也反衬出了墨水是有多昂贵。说道墨水，我想到了八腕乌贼，这种生物的墨囊容量大概是几毫升。这个数字来源于这篇论文中提到的收集罐的大小，要知道一只乌贼的质量也就100来克。

30刀应该可以买到几千克的新鲜活乌贼，假如你恰好挑中了其中一条合适的，那么你就有5到6盒的墨水量啦。

（给我灌一些CMYK佳得乐！译者注：gatorade[佳得乐]与cartridge[墨盒]读音相近）

我是不是很机智？

• 注1：其实是6.022*10^23，等于12克碳-12中的碳-12原子数，或是1克氢中的氢原子数。
• 注2：如果这个数字很大的话，拿起来就不方便了。但如果不到1克的话，一想到我是花了30刀买了这玩意儿就让人心痛。
• 注3：我们其实在把相除操作转化为相减操作。如果你觉得这个小窍门很好玩，打算进一步发展一下以变得更加严谨的话，那么恭喜你，你发明了对数！
• 注4：你可以认为David的问题中指的是墨水颗粒数，也就是说一堆墨水分子只算一个，不过这样你需要准确地确定干透的墨水里含有多少水分以及1,5-戊二醇有多少，这可是个苦差事。